Индекс рябцева формула пример решения. Индексы

Пример решения задачи 3.

По данным выборочного обследования получено следующее распределение работников организации по размеру заработной платы:

Определите :

1. Среднюю заработную плату.

2.Коэффициент вариации.

3.Моду и медиану

1. Условие задания представлено интервальным вариационным рядом с равными интервалами. Поэтому для вычисления показателей сначала следует определить величину осредняемого признака (х) как середину каждого интервала и получить дискретный ряд распределения.

2.Коэффициент вариации характеризует меру колеблемости отдельных вариантов признака (х) вокруг средней величины. Он представляет собой процентное соотношение среднего квадратического отклонения (σ) и средней арифметической (), то есть

Для расчета среднего квадратического отклонения предварительно вычислим дисперсию (σ 2)по формуле:

Расчет можно выполнить с помощью вспомогательной таблицы

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

σ = ±√ σ 2 = ± ±1100,443 руб.

Коэффициент вариации составит:

Если значение коэффициента вариации не превышает 33,3%, то совокупность считается однородной, а средняя величина может быть признана типичной для данного распределения. В нашем примере средняя величина типична.

3. Мода (доминанта) - это наиболее часто встречающееся значение признака x ; в интервальном ряду модальным будет тот интервал, который имеет наибольшую частоту (частость).

В данном задании наибольшую частоту (65) имеет интервал 15000 - 16000 рублей, следовательно, мода и будет находиться в этом интервале.

Следовательно, наибольшее число работников имели заработную плату в размере 15280 руб.

Медиана - значение признака у той единицы ранжированного ряда, которая находится в его середине. Сначала определим порядковый номер этой единицы. Для этого добавим к сумме всех частот ряда () единицу и результат разделим пополам, то есть

Медианным значением зарплаты будет то, которое составит полусумму зарплат 100-го и 101-го работников. Они попадают в четвертый интервал (10+20+58+65=153) по сумме накопленных частот, то есть от 15000 до 16000 руб.

Следовательно, половина работников имеют заработную плату не более 15184,6 руб., а другая половина - не менее 15184,6 руб.

Для сопоставления структуры статистических совокупностей, сравнения фактических и нормативных структур, для количественной оценки динамических структурных изменений (структурных сдвигов) могут быть использованы показатели структурных различий. Обобщающую количественную оценку дают интегральные показатели структурных различий:

где d 1i и d 0i – сравниваемые структурные составляющие,

n – число структурных градаций (выделенных групп).

Рассчитайте:

1) уровень и динамику производительности труда по каждому пред­приятию в отдельности;

2) по двум предприятиям вместе:

а) средний индекс производительности труда переменного состава;

б) индекс средней производительности труда постоянного (фиксированного) состава;

в) индекс влияния структурных сдвигов за счет изменения чис­ленности работников;

г) абсолютное изменение объема произведенной продукции во II квартале по сравнению с I кварталом в резуль­тате изменения каждого из факторов.

Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.

Решение.

1. Определим уровень и динамику производительности труда по каждому пред­приятию

а) по предприятию №1

индекс производительности

Производительность труда на предприятии №1 возросла на 25,9%.

б) по предприятию №2

в 1 квартале млн. руб. на одного человека

во 2 квартале млн. руб. на одного человека

индекс производительности

Производительность труда на предприятии №2 возросла на 24,4%.

2. Определим по двум предприятиям вместе:

а) средний индекс производительности труда переменного состава:

б) индекс средней производительности труда постоянного (фиксированного) состава:

в) индекс влияния структурных сдвигов за счет изменения в численности работников

Взаимосвязь индексов

г) абсолютное изменение объема произведенной продукции во II квартале по сравнению с I кварталом в резуль­тате изменения каждого из факторов

Тыс. руб.

Тыс. руб.

Тыс. руб.

Средняя производительность труда на двух предприятиях во втором квартале по сравнению с первым кварталом возросла на 22,8% (или на 1,13 тыс. руб.), в том числе за счет повышения производительности на отдельных предприятиях в среднем на 25,1% (или на 1,22 тыс. руб.) и изменения структуры на - 1,8% (или уменьшения на 0,09 тыс. руб.).

Пример 2. Известны следующие данные об экспорте металлопродукции из Российской Федерации.

Таблица 39

Экспорт металлопродукции из Российской Федерации

По приведенным данным:

а) исчислите индексы цен и физического объема экспортируемой металлопродукции;

б) определите, на какую сумму (млн. долл. США) изменилась экспортная выручка под влиянием изменения контрактных цен.

Проанализируйте полученные показатели и сделайте выводы.

Решение.

а) Преобразуем агрегатную форму индекса цен

=> => или 91%

Индекс физического объема экспортируемой продукции

=> или 104%

б) абсолютное изменение экспортной выручки по влиянием изменения контрактных цен млн. долл. США

Цены на металлы снизились в среднем на 9%. Рост физического объема экспортируемой металлопродукции составил 4%. Изменение контрактных цен на металлопродукцию привело к уменьшению в экспортной выручки на 434,2 миллионов долларов США.

Пример 3. Имеются следующие данные о структуре доходов (табл. 40).

Таблица 40

Структура доходов в группах с различным среднедушевым денежным доходом по некоторым регионам РФ в 2002 г.

Определите существенность структурных различий в доходах различных групп, используя индексы Салаи и Гатева.

Решение. 1. Определим индекс Салаи.

Индекс Салаи I s = ,

где d 1 – структура доходов во второй группе

d 0 - структура доходов в первой группе

n – количество групп

Расчетные данные приведем в таблице 41.

Таблица 41

Данные для расчета индекса Салаи

Продолжение таблицы 41

Таким образом, индекс Салаи показывает достаточно существенные различия в распределении среднедушевых доходов различных групп.

2. Рассчитаем интегральный коэффициент К. Гатева:

Расчётные данные приведены в таблице 42.

Таблица 42

Данные для расчета интегрального коэффициента К. Гатева

Таким образом коэффициент К. Гатева показывает различия в распределении по видам доходов между группой с низким и высоким среднедушевым доходом.

Контрольные вопросы

1. Понятие об индексах.

2. Индивидуальные индексы и их виды.

3. Основные виды экономических индексов. Агрегатный индекс как основная форма экономического индекса.

5. Взаимосвязь цепных и базисных индексов.

Сравнение двух одноименных структур в пространстве проводится при помощи абсолютных показателей различий и коэффициентов абсолютных сдвигов. Они могут быть подсчитаны при разном количестве элементов у сравниваемых структур.

Изменения удельных весов одной и той же структуры во времени измеряются относительными показателями различий икоэффициентами относительных структурных сдвигов. Подсчитываются только в том случае, если количество элементов в структурах одинаково.

Показатели, характеризующие не изменение отдельной доли, а изменение структуры в целом, - т. е.«структурный сдвиг».

Движение системы во времени, носящее управляемый характер, мы считаем трансформацией. Для измерения силы и глубины трансформации, проявляющейся в структурных сдвигах, в статистике используются специальные методы, рассчитываются специфические показатели.

В условиях измерения абсолютных структурных сдвигов классическая формула среднего линейного отклонения трансформируется в следующую:

где - модуль абсолютного прироста долей (удельных весов) в текущем периоде по сравнению с базисным; n - число градаций.

Этот показатель Л.С. Казинец назвал линейным коэффициентом абсолютных структурных сдвигов. Статистически его смысл состоит в том, что он представляет собой среднюю арифметическую из модулей абсолютных приростов долей (удельных весов) всех частей сравниваемых целых.

Данный коэффициент характеризует среднюю величину отклонений от удельных весов, то есть показывает, на сколько процентных пунктов в среднем отклоняются друг от друга удельные веса частей в сравниваемых совокупностях.

Чем больше величина линейного коэффициента абсолютных структурных сдвигов, тем больше в среднем отклоняются друг от друга удельные веса отдельных частей за два сравниваемых периода, тем сильнее абсолютные структурные сдвиги. Если структуры за эти периоды совпадают (т.е. d 2 - d 1 = 0), то данный коэффициент будет равен нулю.

Индекс различий

где d i1 d i0 - удельные веса отдельных элементов двух сравниваемых совокупностей;
n - количество элементов (групп) в совокупности.

Индекс различий, рассчитанный через удельные веса, выраженные в процентах, может принимать значения от 0 до 100%, приближение к нулю означает отсутствие изменений, приближение к максимуму - свидетельство значительного изменения структуры.

Коэффициент структурных сдвигов К. Гатева

Приведенные выше показатели не дают представления об изменениях удельных весов отдельных элементов совокупности. Данный показатель учитывает интенсивность изменений по отдельным группам в сравниваемых структурах.

Количество групп, на которое поделена исследуемая совокупность, влияет на итоговую оценку структурных изменений.

Индекс структурных различий Салаи.

Данный показатель учитывает также число групп или элементов в сравниваемых структурах. Коэффициент (индекс) Салаи, как и коэффициент К. Гатева могут принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе полученное значение к единице, тем существеннее произошедшие структурные изменения. Коэффициент Салаи принимает близкие к единице значения, когда в сумме большое количество единиц.

Индекс Рябцева

Значения этого показателя не зависят от числа градаций структур. Оценка производится на основе максимально возможной величины расхождений между компонентами структуры, происходит соотношение фактических расхождений отдельных компонентов структур с максимально возможными значениями. Данный коэффициент (индекс) также принимает значения от нуля до единицы. Преимуществом данного показателя может считаться и наличие шкалы оценки полученных значений показателя.

Приведённые показатели представляют характеристику структурных изменений, но не дают представления о величине этих изменений.

Для количественной оценки степени неравномерности используются два коэффициента концентрации доходов - Лоренца и Джини.

Коэффициент Лоренца

где y i - доля доходов i-й группы; х i - доля населения i -й группы.

Расчет коэффициента Джини основан на определении доли площади многоугольника, очерченного диагональю квадрата и кривой Лоренца, в половине площади квадрата:

где cum y i - накопленные доли доходов

Оба коэффициента изменяются в пределах от 0 до 1. Чем ближе значение к 1, тем выше уровень неравенства (концентрации) в распределении доходов. Предельных значений данные коэффициенты на практике не достигают (0 - полное равенство, 1 - концентрация доходов у одной группы населения).

При расчете и сравнении значений коэффициента Джини следует обращать внимание на то, по каким группировкам рассчитан показатель, так как чем на большее число групп разделена анализируемая совокупность, тем выше будет значение коэффициента Джини. Например, коэффициент, рассчитанный по 10%-ным группам, всегда будет выше коэффициента, рассчитанного по 20%-ным группам.

Теория Парето - Лоренца - Джини была предложена для изучения равномерности или неравномерности (концентрации) распределения совокупных доходов среди всех групп населения. Однако, эти коэффициенты могут быть использованы при изучении степени равномерности распределения других социальных и экономических признаков. Например, степени равномерности распределения жилья, социальных трансфертов, медицинских и образовательных услуг, преступности и др.

При оценке степени монополизации отрасли используется коэффициент Герфиндаля

где d i - удельный вес i-го предприятия;

k - число предприятий в отрасли.

Вычисление коэффициента производится через сумму квадратов долей продаж каждого предприятия отрасли, выраженных в процентах. Следовательно, максимальное значение коэффициента Герфиндаля может составлять 10000, минимальное - 10000 /k.

Для количественной характеристики различий структур используются абсолютные и относительные или нормированные показатели.

Абсолютные показатели различий структуры определяют на какую величину в среднем отличается каждая структурная группа. В расчете используются данные о структуре, выраженные в процентах, т.е. р г

Линейный коэффициент различий рассчитывается по формуле средней

арифметической

В числителе показателя находится сумма абсолютных значений разно- стей (pi , - /;, 0).

Квадратический коэффициент различий рассчитывается по формуле квадратической средней:

При этом от знака разности (р. j - p i 0) избавляются, возводя ее в квадрат.

Результат расчета абсолютных показателей различий структуры - проценты различий в среднем на одну группу - имеет особую единицу измерения - процентный пункт.

Покажем порядок расчета K L и К а, используя данные о товарной структуре экспорта и импорта РФ в 201.5 г. (табл. 6.19).

Товарная структура экспорта и импорта РФ в 2015 г.

Таблица 6.19

Составлено по: Россия в цифрах. 2016. Табл. 27.8, 27.11.

Линейный коэффициент различий структуры экспорта и импорта составил

Квадратический коэффициент различий структур составил

Подсчитанные показатели установили, что товарная структура экспорта и импорта неодинаковая: каждая структурная группа отличается в среднем па 14,9 или на 24,5 процентного пункта. Разные способы расчета линейного и квадратического показателей приводят к разным результатам. Но при этом линейный коэффициент K L всегда меньше квадратического коэффициента К а: K L

Для сравнительной оценки выявленных различий структуры применяются относительные или нормированные показатели. В них фактические различия структуры сравниваются с величиной различий, принятых за норму. Нормированные показатели измеряются в процентах от уровня различий, принятых в качестве базы сравнения. Измеряются показатели в процентах и имеют верхний и нижний предел значений: ноль при полном совпадении структур и 100% (или 1) - при полной противоположности структур. Принимая во внимание диапазон различий нормированных показателей, 0

Одна группа нормированных показателей - это оценки фактических изменений по сравнению с их предельным или максимальным уровнем.

Нормированный линейный коэффициент различий строится как арифметическая средняя:

В рассматриваемом примере он равен

Нормированный квадратический коэффициент различий структуры построен как квадратическая средняя:

В примере но данным табл. 6.19 при оценке различий структуры экспорта и импорта РФ этот коэффициент равен

Различия в структуре экспорта и импорта РФ весьма значительные, они составляют от 52,1 до 67,1% по сравнению с предельными различиями структур.

По сравнению с предельными коэффициентами более реальными являются нормированные коэффициенты возможных различий. В них в качестве базы сравнения выступают возможные различия структуры. Существует несколько вариантов подобных показателей, которые отличаются величиной возможных различий и конечным результатом.

В коэффициенте Гатева в качестве величины возможных различий принимается сумма квадратов процентов удельного веса отчетной и базисной

структуры:

Нормированный коэффициент Гатева имеет вид

В коэффициенте Рябцева величина возможных различий - это сумма квадратов суммы процентов удельного веса отчетной и базисной структуры, т.с.

Нормированный коэффициент Рябцева имеет вид

В коэффициенте Салаи, гак же как в коэффициентах Гатева и Рябцева, используется квадратическая форма средней. Величина коэффициента показывает, на какую относительную величину в среднем отличается разница удельных весов структурной группы от их суммы. Коэффициент Салаи рассчитывается по формуле

В табл. 6.20 показано, какие результаты дал расчет коэффициентов возможных различий по данным о структуре экспорта и импорта.

Коэффициент Гатева составил

Коэффициент Рябцсва составил

Коэффициент Салаи составил

Таковы в среднем различия удельного веса структурной группы с суммой ее удельного веса.

Расчет рассмотренных коэффициентов выявил их несовпадение. В характеристиках Гатева и Рябцсва числитель показателей одинаковый, поэтому различия объясняются неравенством знаменателей. Знаменатель коэффициента Рябцева всегда больше знаменателя коэффициента Гатева Именно потому, что

коэффициент Рябцева меньше коэффициента Гатева. Следовательно, в отличие от коэффициента Гатева коэффициент

Таблица 6.20

Расчет показателей различий товарной структуры экспорта и импорта РФ в 2015 г.

Товарная группа	Экспорт, % к итогу, Pi, 0	к итогу, Pi. 1
П родовол ьствен н ые товары
Минеральные продукты
Продукция химической промышленности
Кожа и пушнина
Древесина и целлюлозно-бумажные изделия
Текстиль и обувь
Металлы и драгоценные камни
М а шины, оборудо ва и и е и транспортные средства

Составлено по: Россия в цифрах. 2016. Табл. 26.8, 26.10.

Рябцева оценивает выявленные различия структуры как менее значительные, а сами структуры - как более однородные, близкие, тождественные. Для коэффициента Рябцева существует шкала атрибутивных оценок выявленных различий структур и степени их тождественности (табл. 6.21).

Нормированные коэффициенты различий структуры экспорта и импорта РФ в 2011 г. установили резкие различия товарной структуры. Они касаются, в первую очередь, экспорта минеральных продуктов и импорта машин, оборудования и транспортных средств. Выявленные различия характеризуют особенности товарообмена РФ со странами мира.

Таблица 6.21

Шкала атрибутивных оценок различий структуры но значениям коэффициента Рябцева